Question

已知：如圖，A是⊙O外一點，AO的延長線交⊙O于點C和點D，點B在圓上，且AB=BD，∠A=30°．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的直徑為10，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵BD=BA，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠DBA=120°，
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD=30°，
∴∠OBA=90°，即AB⊥OB，
則AB是圓O的切線；

（2）解：由圓的直徑為10，得到OB=OD=5，
∵在Rt△AOB中，∠A=30°，
∴AO=2OB=10，
則AC=AO-OC=10-5=5．
分析：（1）連接OB，由BD=BA，利用等邊對等角得到一對角相等，進而求出∠DBA的度數為120°，由OB=OD利用等邊對等角得到∠D=∠OBD=30°，由∠DBA-∠OBD求出∠OBA為直角，即可得到AB為圓O的切線；
（2）由圓的直徑求出半徑OB的長，在直角三角形AOB中，由30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OA的長，由OA-OC即可求出AC的長．
點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，含30度直角三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．