Question

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN．橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？在下圖中畫出路徑，不寫畫法但要說明理由．（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．）

Answer 1

分析：雖然A、B兩點在河兩側，但連接AB的線段不垂直于河岸．關鍵在于使AM+BN最短，但AM與BN未連起來，要用線段公理就要想辦法使M與N重合起來，利用平行四邊形的特征可以實現這一目的．

解答：解：如圖，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河寬，
連接AB′，與河岸EF相交于M，作MN⊥GH，
則MN∥BB′且MN=BB′，
于是MNBB′為平行四邊形，故NB=MB′．
根據“兩點之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．

故橋建立在MN處符合題意．

點評：此題考查了軸對稱---最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化，以后還會學習一些線段轉化的方法．