Question

已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交于BE的延長線于點F，且AF=DC，連接CF．
（1）求證：D是BC的中點；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證△AFE≌△DBE，得出AF=BD，進而根據AF=DC，得出D是BC中點的結論；
（證法2：可根據AF平行且相等于DC，得出四邊形ADCF是平行四邊形，從而證得DE是△BCF的中位線，由此得出D是BC中點）
（2）若AB=AC，則△ABC是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質知AD⊥BC；而AF與DC平行且相等，故四邊形ADCF是平行四邊形，又AD⊥BC，則四邊形ADCF是矩形．
解答：（1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
∴△AFE≌△DBE．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中點．（4分）

（2）解：四邊形ADCF是矩形；
證明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四邊形ADCF是矩形．（8分）
點評：此題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行四邊形、矩形的判定等知識．