Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P為圓上一點，點C為AB延長線上一點，PA=PC，∠C=30°．

（1）求證：CP是⊙O的切線．
（2）若⊙O的直徑為8，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，如圖所示：

∵PA=PC，∠C=30°，

∴∠A=∠C=30°，

∴∠APC=120°，

∵OA=OP，

∴∠OPA=∠A=30°，

∴∠OPC=120°﹣30°=90°，

即OP⊥CP，

∴CP是⊙O的切線

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠APB=90°，

∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，

∵OP=OB=4，

∴△OBP是等邊三角形，

∴∠POC=60°，

∵OP⊥CP，

∴∠C=30°，

∴OC=2OP=2OB=8，

∴PC= = =4 ，

∴陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積= ﹣ × ×4×4 = ﹣4 ．

【解析】（1）連接OP利用等腰三角形的性質及三角形的內角和求出∠OPC=120°﹣30°=90°得CP是⊙O的切線；（2）利用直徑所對的圓周角是直角及同圓的半徑相等得△OBP是等邊三角形，再由勾股定理得PC得長度，最后用陰影部分的面積=扇形OBP的面積﹣△OBP的面積即可。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的內角和外角和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．