Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，點E是AB上一點，直線CE交⊙O于點F，連接BF，與直線CD交于點G．
（1）求證：BC²=BG•BF；
（2）若CB=

6

cm，FG=1cm，求FB的長．

Answer 1

分析：（1）先根據AB是直徑可得出∠ACB=90°，再由CD⊥AB及相似三角形的判定定理可得出△FBC∽△CBG，由相似三角形的對應邊成比例即可得出答案；
（2）BG=x，由（1）的結論即可得出關于x的一元二次方程，求出x的值，進而可得出FB的長．

解答：（1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，∠A+∠ABC=90°，（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠BCD=90°，（1分）
∴∠A=∠BCD，（1分）
∵∠A=∠F，
∴∠F=∠BCD，（1分）
∵∠CBG=∠FBC，
∴△FBC∽△CBG（1分）
∴

CB

BG

=

FB

CB

（1分）
∴BC²=FB．BG（1分）

（2）解：設BG=x，由上可知(

6

)2=x(x+1)（2分）
解得x=2，x=-3x＞0，
∴BF=3cm（2分）

點評：本題考查的是圓周角定理及相似三角形的判定與性質，解答此題的關鍵是根據相似三角形的判定定理得出△FBC∽△CBG，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．