Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是邊BC上的一點，△ABE經過旋轉后得到△ADF．
（1）旋轉中心是點

A

；旋轉角最少是

90

度；
（2）求四邊形AECF的面積；
（3）如果點G在邊CD上，且∠GAE=45°，
①試判斷GE、BE、DG之間有什么樣的數量關系？并說明理由．
②若BE=2，求DG的長．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，兩對應邊AB、AD的交點即為旋轉中心，夾角為旋轉角；
（2）根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得△ADF和△ABE全等，再根據全等三角形的面積相等可得四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，然后列式求解即可；
（3）①根據旋轉角求出∠GAF=45°，從而得到∠GAE=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEG和△AFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得GE=GF，然后證明即可得證；
②設DG為x，表示出CG、GE、CE，然后在Rt△CGE中利用勾股定理列式進行計算即可得解．

解答：解：（1）∵△ABE經過旋轉后得到△ADF，
∴旋轉中心為A，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴旋轉角為∠BAD=90°；

（2）∵△ABE經過旋轉后得到△ADF，
∴S_△ABE=S_△ADF，
∴S_{四邊形AECF}=S_{四邊形AECD}+S_△ADF=S_{四邊形AECD}+S_△ABE=S_{正方形ABCD}，
∵正方形ABCD的邊長為6，
∴四邊形AECF的面積=6²=36；

（3）①∵△ABE經過旋轉后得到△ADF，
∴AE=AF，BE=DF，
∵∠GAE=45°，
∴∠GAF=45°，
∴∠GAE=∠GAF，
在△AEG和△AFG中，

AE=AF ∠GAE=∠GAF AG=AG

，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DF+DG=BE+DG，
∴GE=BE+DG；
②設DG=x，則CG=6-x，GE=x+2，CE=BC-BE=6-2=4，
在Rt△CGE中，GE²=CE²+CG²，
即（x+2）²=4²+（6-x）²，
解得x=3，
所以，DG=3．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握旋轉前后的兩個三角形全等是解題的關鍵．