Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=O和x=4時，y的值相等．直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是3，另一點是這條拋物線的頂點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段OM上一點，過點P作PQ⊥x軸于點Q．若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
（3）隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值，并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；
（4）隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值．

Answer 1

分析：（1）x=O和x=4時，y的值相等，即可得到函數的對稱軸是x=2，把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個點的坐標，并且其中一點是頂點，利用待定系數法，設出函數的頂點式一般形式，就可以求出函數的解析式；
（2）根據待定系數法可以求出直線OM的解析式，設OQ的長為t，即P，Q的橫坐標是t，把x=t代入直線OM的解析式，就可以求出P點的縱坐標，得到PQ的長，四邊形PQCO的面積S=S_△COQ+S_△OPQ，很據三角形的面積公式就可以得到函數解析式；
（3）從圖象可看出，隨著點P由O→M運動，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當然點P運動到點M時，S最值；
（4）在直角△OPQ中，根據勾股定理就可以求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵當x=0和x=4時，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，（1分）
∴b=-4a，
∴x=-

b

2a

=-

-4a

2a

=2
將x=3代入y=4x-16，得y=-4，
將x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分）
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-8
將點（3，-4）代入，得-4=a（x-2）²-8，
解得a=4．
∴拋物線y=4（x-2）²-8，即y=4x²-16x+8．（3分）

（2）設直線OM的解析式為y=kx，將點M（2，-8）代入，得k=-4，
∴y=-4x．（4分）
則點P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．
S=S_△COQ+S_△OPQ=

1

2

×8×t+

1

2

×t×4t=2t²+4t（5分）
t的取值范圍為：0＜t≤2（6分）

（3）隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值．
從圖象可看出，隨著點P由O→M運動，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，
即S不斷變大，顯然當點P運動到點M時，S值最大（7分）
此時t=2時，點Q在線段AB的中點上（8分）
因而S=

1

2

×2×8+

1

2

×2×8=16．
當t=2時，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四邊形PQCO是平行四邊形．（9分）

（4）隨著點P的運動，存在t=

8

17

17

，能滿足PO=OC（10分）
設點P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t．
由勾股定理，得OP²=（4t）²+t²=17t²．
∵PO=OC，
∴17t²=8²，t₁=

8

17

17

＜2，t₂=-

8

17

17

（不合題意）
∴當t=

8

17

17

時，PO=OC．（11分）

點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式．注意數與形的結合是解決本題的關鍵．