Question

點A（4，m），B（n，-3）在直線y=x-5上．
（1）試求點A、點B坐標；
（2）若一拋物線過A，B且以y軸為對稱軸，求該拋物線解析式；
（3）現有一開口向下，形狀與（2）中拋物線相同的新拋物線沿x軸水平移動，交x軸于C，D兩點（C左D右），且CD=3．試求當四邊形ABCD周長最小時的新拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A，B坐標代入直線解析式即可；
（2）設出函數解析式，把A、B坐標代入；
（3）易得新拋物線的二次項系數與原拋物線的二次項系數互為相反數．四邊形ABCD的周長最小，應把已知的一個點平移3個單位，作出另一的點關于x軸的對稱點，連接兩個新點得到D坐標，進而求得C坐標，代入所設的兩個函數解析式即可．
解答：解：（1）∵點A（4，m），B（n，-3）在直線y=x-5上，
∴m=4-5=-1，n=-3+5=2，
A（4，-1），B（2，-3）．

（2）設所求函數解析式為y=ax²+k，
那么-1=16a+k，
-3=4a+k，
解得a=，b=-，
∴．

（3）點B向右平移3個單位得E（5，3），作A關于x軸的對稱點F（4，1），直線EF與x軸的交點即D，
再得C為．
設y=-x²+bx+c，
把C，D坐標代入，
可得．
點評：以y軸為對稱軸的函數解析式為y=ax²+k兩個函數的形狀相同，開口方向不同，這兩個函數二次項的系數互為相反數；
求路線最短問題，應想到做其中一點的關于另兩點所在直線的對稱點．