Question

（2012•縉云縣模擬）已知在平面直角坐標系中，直線y=-

3

x+6

3

與x軸，y軸相交于A，B兩點，直線y=

3

x與AB相交于C點，點D從點O出發，以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動到點A，過點D作x軸的垂線，分別交直線y=

3

x和直線y=-

3

x+6

3

于P，Q兩點（P點不與C點重合），以PQ為邊向左作正△PQR，設正△PQR與△OBC重疊部分的面積為S（平方單位），點D的運動時間為t（秒）
（1）求點A，B，C的坐標； 
（2）若點M（2，3

3

）正好在△PQR的某邊上，求t的值；
（3）求S關于t的函數關系式，并寫出相應t的取值范圍，求出D在整個運動過程中s的最大值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，可求A點的橫坐標；令x=0，可求B點的橫坐標；直線y=-

3

x+6

3

與直線y=

3

x聯立可求C點坐標；
（2）本題只需考慮點M（2，3

3

）正好在△PQR的某邊上，求出t的取值即可．
（3）本題要分5種情況進行討論．當0≤t≤

9

4

時；當

9

4

＜t＜3時；當t=3時；當3＜t≤

9

2

時；當

9

2

≤t≤6時．討論求出S的最大取值．

解答：解：（1）令y=0，可求A點的橫坐標為：6；
故A點坐標為；（6，0），
令x=0，可求B點的縱坐標為：（0，6

3

）；
直線y=-

3

x+6

3

與直線y=

3

x聯立可求C點坐標為：（3，3

3

）；

（2）當M在QP上或在RQ上以及RP上時，
分別求出：t1=

7

2

，t2=

11

4

，t₃=2；

（3）

s=- 7 3 3 t2+6 3 t(0≤t≤ 9 4 ) s=3 3 t2-18 3 t+27 3 ( 9 4 ＜t＜3) s=0(t=3) s= 3 t2-6 3 t+9 3 (3＜t≤ 9 2 ) s=- 3 3 t2+6 3 t-18 3 ( 9 2 ＜t≤6)

，
因為S的最大值在

9

2

＜t≤6范圍內取到，a=-

3

3

＜0，開口向下，對稱軸直線x=9，函數的自變量

9

2

＜t≤6部分圖象在對稱軸的左側，S隨t的增大而增大
故當t=6時，s最大=6

3

．

點評：考查了一次函數綜合題．本題中對于點的運動要分類進行討論．分類討論是初中數學重要的思想方法，難點是一要想到用討論的方法進行求解．而是討論界限要確定不要漏解和重復．