Question

【題目】綜合與實踐

問題解決：

如圖1，已知正方形，，把含（）的直角三角板的一個銳角頂點和點重合，三角板和正方形的，兩邊分別相交于，兩點．

（1）當時，求的長；

探究發現：

（2）在圖1的基礎上，試探究，，有怎樣的數量關系，請寫出猜想，并給予證明．

類比延伸：

（3）如圖2，若三角板和正方形，兩邊的延長線分別相交于，兩點，請直接寫出，，存在的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；證明見解析；（3）．

【解析】

（1）直接利用勾股定理，即可求出AM的長度；

（2）延長到點，使得，連接．先證明，得到，然后得到，再證明，即可得到結論成立.

（3）在CN上截取CE=AM，連接ME，先證明△BCE≌△ABM，然后得到△MBE為等腰直角三角形，再根據垂直平分線的性質，線段的和差關系，即可得到結論.

解：（1）∵四邊形為正方形，

∴，．

∵，，

∴．

（2）猜想：．

證明：延長到點，使得，連接．

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

即．

在和中，

，

∴，

∴，

∴．

（3）在CN上截取CE=AM，連接ME，

∵BC=AB，∠BAM=∠C=90°，

∴△BCE≌△BAM，

∴BE=BM，∠ABM=∠CBE，

∵∠MBN=45°，∠ABC=90°，

∴∠MBE=90°，△MBE為等腰直角三角形，

∴BN垂直ME，

∴BN為ME垂直平分線，

∴NM=NE．

∴CN-AM=CN-CE=NE=MN，

∴．