Question

如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點，且AB=AC，AD與BC的延長線交于點E．
（1）求證：△ABD∽△AEB；
（2）若AD=1，DE=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）結合已知條件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出結論；
（2）由（1）的結論就可以推出AB???長度，規矩勾股定理即可推出BD的長度．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴．
∴∠ABC=∠ADB．（2分）
又∠BAE=∠DAB，
∴△ABD∽△AEB．（4分）

（2）解：∵△ABD∽△AEB，
∴．
∵AD=1，DE=3，
∴AE=4．
∴AB²=AD•AE=1×4=4．
∴AB=2．（6分）
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=90°．
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=2²+1²=5，
∴BD=．（8分）
點評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質、圓周角定理，解題的關鍵在于找到∠ABC=∠ADB，求證三角形相似．