Question

我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

【小題1】請寫出一個你學過的四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
【小題2】在中，如果是銳角，點分別在上，且．猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

【小題1】平行四邊形、等腰梯形等滿足條件的即可.
【小題2】此時存在等對邊四邊形DBCE. ………………………………4分
證明1：如圖，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD的延長線于F點. …5分

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG…………………………………7分
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE………………………………9分
故四邊形DBCE是等對邊四邊形. ……………10分
證明2：此時存在等對邊四邊形DBCE. ………………………………4分
如圖，在BE上取一點F，使得BF=CD，連接CF. ……………5分

易證△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB="∠DBC." ……………8分
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE………………………………9分
∴BF=CE
故四邊形DBCE是等對邊四邊形. …………10分

解析