Question

（2013•椒江區一模）如圖，AB是⊙O的直徑，D，E是⊙O上的兩點，AE和BD的延長線交于點C，連接DE．
（1）求證：△CDE∽△CAB；
（2）若∠C=60°，求證：DE=

1

2

AB．

Answer 1

分析：（1）由圓的內接四邊形的性質可得：∠CDE=∠A，再由∠C=∠C，即可證明：△CDE∽△CAB；
（2）連接AD，由（1）已證△CDE∽△CAB，根據相似三角形的性質和已知條件即可證明DE=

1

2

AB．

解答：證明：（1）∵四邊形ABDE內接于⊙O，
∴∠CDE=∠A，
又∵∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB；
（2）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠ADB=90°
又∵∠C=60°，
∴

CD

AC

=cos60°=

1

2

，
由（1）已證△CDE∽△CAB，
∴

ED

AB

=

CD

AC

=

1

2

∴ED=

1

2

AB．

點評：本題考查了圓的內接四邊形性質、圓周角定理以及相似三角形的判定和性質，題目難度中等．