Question

（自編題）某品牌專賣店準備采購數量相同的男女情侶襯衫，并以相同的銷售價x（元）進行銷售，男襯衫的進價為30元，當定價為50元時，月銷售量為120件，售價不超過100元時，價格每上漲1元，銷量減少1件；售價超過100元時，超過100元的部分，每上漲1元，銷量減少2件．受投放量限制襯衫公司要求該專賣店每種襯衫每月訂購件數不得低于30件且不得超過120件．該品牌專賣店銷售男襯衫利潤為y₁ （元），銷售女襯衫的月利潤為y₂（元），且y₂與x間的函數關系式為y2=

20x-800(50≤x≤80) -10x+1600(80＜x≤120)

，銷售這兩種襯衫的月利潤W（元）是y₁與y₂的和．
（1）求自變量x取值范圍
（2）求y₁與x間的函數關系式；
（3）求出W關于x的函數關系式；
（4）該專賣店經理應該如何采購，如何定價，才能使每月獲得的總收益W最大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知銷售價x（元）與銷量之間的關系得出x的取值范圍；
（2）根據x的取值范圍得出利潤與單價以及銷量之間的關系式；
（3）根據y₁與y₂的函數關系式，得出y₁+y₂=w，求出即可；
（4）根據自變量的取值范圍，分別求出二次函數最值即可．

解答：解：（1）由題意知120-（x-50）≤120，
得：x≥50，
而當x=100時，120-（x-50）=70，
再由70-2（x-100）≥30，
得：x≤120，
故自變量取值范圍為50≤x≤120．

（2）y1=

(x-30)[120-(x-50)]=-x2+200x-5100(50≤x≤100) (x-30)[(70-2(x-100)]=-2x2+330x-8100(100＜x≤120)

；


（3）W=y1+y2=

(-x2+200x-5100)+(20x-800)=-x2+220x-5900(50≤x≤80) (-x2+200x-5100)+(-10x+1600)=-x2+190x-3500(80＜x≤100) (-2x+330x-8100)+(-10x+1600)=-2x2+320x-6500(100＜x≤120)

；

（4）配方得：W=

-(x-110)2+6200(50≤x≤80) -(x-95)2+5525(80＜x≤100) -2(x-80)2+6300(100＜x≤120)

，
當50≤x≤80時，W隨x增大而增大，所以x=80時，W_最大=5300；
當80＜x＜100時，x=95，W_最大=5525；
當100＜x＜120時，W隨x增大而減小，而x=100時，W=5500；
綜上所述，當x=95時，W最大且W_最大=5525，
故專賣店經理應該將兩種襯衫定價為95元，進貨數量確定為120-（95-50）=75件時，專賣店月獲利最大且為5525元．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，根據自變量取值范圍得出二次函數解析式進而求出二次函數最值問題是初中階段重點題型．