Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，點P由點C出發以每秒2 cm的速度沿線CA向點A運動（不運動至A點），⊙O的圓心在BP上，且⊙O分別與AB、AC相切，當點P運動2秒鐘時，⊙O的半徑是（　　）

• A、

  12

  7

  cm
• B、

  12

  5

  cm
• C、

  5

  3

  cm
• D、2cm

Answer 1

分析：本題較復雜，設AC、AB與⊙O的切點分別為R、M，連接OR、OM，過O作OK⊥BC于K；由于△POR∽△PCB，可得出關于PR，OR，PC，BC的比例關系式，由此可求出PR與半徑的比例關系．由此可表示出OK，AP的長；在Rt△OBK中，已知了OK的表達式，BK=BC-r，而OB可在Rt△OBM中用勾股定理求得．由此可根據勾股定理求出半徑r的長．

解答：解：連接OR、OM，
則OR⊥AC，OM⊥AB；過O作OK⊥BC于K，
設⊙O的半徑為r，
易知：△POR∽△PBC，
∴

PR

PC

=

OR

BC

，
∵BC=

102-82

=6cm，
∴

PR

4

=

r

6

，即：PR=

2

3

r，
AP=CP=2×2=4cm，
在Rt△BOK與Rt△BMO中，根據勾股定理，得：
（6-r）²+（4-

2

3

r）²=BO²=[10-（8-4+

2

3

r）]²+r²
解得：r=

12

7

cm．
故本題選A．

點評：此題雖是動點問題，但和動點無直接關系，實質是運用切線的性質和勾股定理得到一個關于半徑的方程，然后求解．