Question

已知，如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60°，∠ABC=90度．等邊三角形MPN（N為不動點）的邊長為acm，邊MN和直角梯形ABCD的底邊BC都在直線l上，NC=8cm．將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得圖形①，翻折二次得圖形②，如此翻折下去．
（1）將直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2cm，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？
（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？
（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，這時等邊三角形的邊長應為多少？

Answer 1

分析：（1）因為∠DCB=60°，△PMN也是等邊三角形，這樣容易知道△EGN也是等邊三角形，易求GN=2，所以求兩圖形重疊部分的面積就可以求出；
（2）如圖，等邊三角形的邊長MN=GN+HG+MH，其中只要求MH，利用已知解Rt△KHM就可以了；
（3）若現(xiàn)在重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，如圖首先判斷HG的大小，梯形ABCD的面積可以直接求出；然后設(shè)HG為x，根據(jù)已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程就可以得到題目的結(jié)果．

解答：解：（1）因為CB=5，CN=8所以GN=2．
又因為∠PNM=60°且∠EGN=60°，
所以△EGN為正三角形．
所以△EGN的高為h=

3

．
所以S_△EGN=

1

2

×2×

3

=

3

．（3分）

（2）在直角梯形ABCD中，
因為CD=6，∠DCB=60°，
所以AB=3

3

．
在Rt△KHM中，tan30°=

MH

KH

，
MH=3

3

×

3

3

=3，
所以MN=2+5+3=10．（6分）

（3）S_梯形ABCD=

1

2

(2+5)•3

3

=

21 3

2

．
當MP經(jīng)過H點時，交D′G于F，
則S△HGF=

1

2

×5×

5 3

2

=

25 3

4

＞

1

2

S_梯形ABCD．
所以HG＜5，設(shè)HG=x，則有h′=

3

2

x．
所以S_公共部分=

1

2

x•

3

2

x=

21 3

4

．

3

4

x2=

21 3

4

所以x=

21

．
因為GN=2，
所以等邊三角形PNM的邊長a為（

21

+2）cm．（10分）

點評：此題比較難，圖形變換比較復雜，考查了等邊三角形的性質(zhì)，面積計算，也考查了解直角三角形的知識，綜合性比較強