Question

已知：如圖，直線交x軸于點B，交y軸于點C，點A為x軸正半軸上一點，AO=CO，△ABC的面積為12．

（1）求b的值；

（2）若點P是線段AB中垂線上的點，是否存在這樣的點P，使△PBC成為直角三角形．若存在，試直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，試說明理由；

（3）點Q為線段AB上一個動點（點Q與點A、B不重合），QE∥AC，交BC于點E，以QE為邊，在點B的異側作正方形QEFG．設AQ=m，△ABC與正方形QEFG的重疊部分的面積為S，試求S與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2），，，；（3）

【解析】

試題分析：（1）先求得OB、OC的長，再由AO=BO可得點A的坐標，再根據三角形的面積公式求解；

（2）題目中沒有明確直角，故要分情況討論，再結合直角三角形的性質求解即可；

（3）設正方形QEFG與AC相交于點M，先求得，在Rt△AOC中，根據勾股定理可求得AC的長，由EQ∥AC可得，即可表示出的長，證得△QMA為等腰直角三角形，可得QM=，當時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線，此時，解得，再分當0＜m≤、＜m＜6兩種情況分析即可.

（1）由題意得：B(，0)，C（0，b）

∴OB=，OC=b

∵AO=BO

∴A(b，0)．

∴OA=b，AB=b+=

∵

∴

解得：b₁=4，b₂=-4(舍去)

∴b=4；

（2），，，；

（3）如圖，設正方形QEFG與AC相交于點M.

∵

∴

在Rt△AOC中

∵EQ∥AC

∴

∴

∵EQ∥AC

∴∠AMQ=∠EQM=90°，∠MAQ=45°

∴△QMA為等腰直角三角形

∴QM=

當時，正方形QEFG的邊FG恰好與AC共線

此時，解得

當0＜m≤時，

當＜m＜6時，

∴S與m之間的函數關系式為.

考點：動點的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．