Question

已知等腰△ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c的長恰好是方程x²-（2k+2）x+4k=0的兩個根．求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．
解答：解：x²-（2k+2）x+4k=0，
整理得（x-2）（x-2k）=0，
∴x₁=2，x₂=2k，
當a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因為b、c恰是這個方程的兩根，則2=2k，
解得k=1，
即△ABC三邊是2、2、4，
∵2+2=4，
∴這不滿足三角形三邊的關系，舍去；
當a=4為等腰△ABC的腰，
因為b、c恰是這個方程的兩根，所以只能2k=4，
解得k=2，此時三角形的周長為2+4+4=10．
所以△ABC的周長為10．
點評：本題考查了根與系數的關系及根的判別式，屬于基礎題，關鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．