Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連接CF．
（1）當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，求弧AB的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BC，

∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30°，

∴∠ACB=2∠AOB=60°，

∴弧AB的長(zhǎng)=

（2）解：①若D在第一象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 ，

∴EF=3；

②若D在第二象限，

連接OD，

∵OA是⊙C直徑，

∴∠OBA=90°，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分線，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE= = ，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴ ，即 = ，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

（3）解：設(shè)OE=x，

①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角

形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

當(dāng)∠ECF=∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC

中點(diǎn)，即OE= ，

∴E1（ ，0）；

當(dāng)∠ECF=∠OAB時(shí)，有CE=5﹣x，AE=10﹣x，

∴CF∥AB，有CF= ，

∵△ECF∽△EAD，

∴ ，即 ，解得： ，

∴E2（ ，0）；

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連接BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴ ，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

即 ，解得 ＜0（舍去），

∴E3（ ，0）；

③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連接BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴ ，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，

∴△CEF∽△AED，

∴ ，

而AD=2BE，

∴ ，

∴ ，

解得x1= ，x2= （舍去），

∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，

∴E4（ ，0），

綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，

此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：E1（ ，0）、E2（ ，0）、E3（ ，0）、E4（ ，0）．

【解析】（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC= AO=5，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；（3）存在．當(dāng)以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似時(shí)，分為①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．