Question

【題目】如圖，拋物線 y= x+bx+c 與直線 y= x+3 交于 A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 在 y 軸上，拋物線交 x 軸于 C、D 兩點(diǎn)，已知 C（-3，0）.

（1）求拋物線的解析式

（2)在拋物線對稱軸 l 上找一點(diǎn) M，使|MB 一 MD|的值最大。請求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)及這個最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A在y軸上，且在直線 y=x+3上，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)對稱性可得點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，則MC=MD，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B，C，M共線時取最大值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案；

解：（1）∵點(diǎn) A 在 y 軸上，且在直線 y= x+3上，

∴A（0,3），

將A（0,3），C（-3，0）代入函數(shù)解析式，得

解得

∴拋物線的解析式為.

（2）拋物線的對稱軸為.

由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱，

∴對l上任意一點(diǎn)M都有MD=MC.

∴當(dāng)點(diǎn)B，C，M共線時，取最大值，最大值即為BC的長.

聯(lián)立方程組

解得或.

∵A（0,3），

∴B（-4,1）

設(shè)直線BC的解析式為，

∴，

解得.

∴直線BC的解析式為，

∴將代入，解得.

∴點(diǎn)M），

∵B（-4,1），C（-3，0）.

∴BC==

∴的最大值為.