Question

（2009•湖州）如圖，在等邊△ABC中，D、E、F分別是BC，AC，AB上的點，且DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF與△ABC的面積之比等于（ ）

A．1：3
B．2：3
C．：2
D．：3

Answer 1

【答案】分析：三角形的面積=×高×底，所以相似三角形的面積之比等于邊之比的平方，由DE⊥AC，EF⊥AB，FC⊥BC得出△DEF與△ABC的角對應相等，即：△DEF∽△CAB，求出兩個三角形的邊之比即可，又知△ABC是正三角形，所以∠B=∠C=∠A=60°，利用余弦和正弦定理求出兩個三角形的邊之比．
解答：解：∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE，
同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴△DEF與△ABC的面積之比=（）²，
又∵△ABC為正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，△EFD是等邊三角形，
∴EF=DE=DF，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=DC，EC=cos∠C×DC=DC，
又∵DC+BD=BC=AC=DC，
∴==，
∴△DEF與△ABC的面積之比等于：（）²==1：3．
故選：A．
點評：本題主要考查如何求三角形的面積之比，若能證出兩個三角形是相似三角形，此時三角形的面積之比等于對應邊之比的平方，只要求出對應邊比即可．