Question

如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”。如4=2²－0²，12=4²－2²，20=6²－4²，因此，4，12，20這三個數都是神秘數。
【小題1】28和2012這兩個數是神秘數嗎？為什么？
【小題2】設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負數），由這兩個連續偶數構成的神秘數是4的倍數嗎？為什么？
【小題3】兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘嗎？為什么？

Answer 1

【小題1】∵28=8²-6²   2012=504²-502²
         ∴28和2012這兩個數都是神秘數。
【小題2】設這兩個連續偶數構成的神秘數為x
∴x=(2k+2)-(2k)²
=4(2k+1)
∴這兩個連續偶數構成的神秘數是4的倍數。
【小題3】由（2）可得，神秘數可表示為4(2k+1)，因為(2k+1)是奇數，因此神秘數是4的倍數，但一定不是8的倍數。
設定兩個奇數為2n+1和2n-1，則(2n+1)²－(2n-1)²=8n.
∴兩個連續奇數的平方差是8的倍數
∴兩個連續奇數的平方差不是神秘數。

解析