Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點.

(1)求證：AB與⊙O相切；

(2)若等邊三角形ABC的邊長是8，求線段BF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．

試題解析：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M ，

∵⊙O與AC相切于點D ，∴OD⊥AC ，∴∠ADO=∠AMO=90°，

∵△ABC是等邊三角形， AO⊥BC，∴OA是∠MAD的角平分線，

∵OD⊥AC，OM⊥AB，∴OM=OD ，

∴AB與⊙O相切；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF ，

∵AB=AC，AO⊥BC ，

∴O是BC的中點，

∴，

在直角△ABC中，∠ABE=90°，∠MBO=60°，

∴∠OBN=30° ，

∵ON⊥BE，∠OBN=30°，OB=4，

∴， ，

∵AB⊥BE，

∴四邊形OMBN是矩形，

∴，

∵，

由勾股定理得，

∴.