Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．

(1) 證明：△BDG≌△CEF；

(2) 設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長．（結果精確到十分位）

(3) 小穎想：不求正方形的邊長我也能畫出正方形．具體作法是：如圖3

 ①在AB邊上任取一點G′，如圖作正方形G′D′E′F′；

 ②連接BF′并延長交AC于F；

 ③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．你認為小穎的作法正確嗎？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵DEFG為正方形

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

∵△ABC是等邊三角形

∴∠B=∠C=60°

∴△BDG≌△CEF（AAS）

（2）設正方形的邊長為x，作△ABC的高AN，交BC于點N，交GF于點M

∵AN為等邊△ABC的高，AB=2

∴AN=，AM=-

       ∵△AGF∽△ABC

       ∴

∴

∴

∴正方形的邊長約為0.9

（3）正確   理由如下：

由已知可知，四邊形GDEF為矩形

∵FE∥

∴

同理

∴

又∵

∴FE=FG

       ∴矩形GDEF為正方形

【解析】（1）根據正方形的性質可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等邊三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以證明了；

(2)．設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，可以求出AH的長，然后根據△AGF∽△ABC利用其對應邊成比例；可以列出關于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的邊長；

(3)．首先作一個正方形，然后利用位似圖形作圖就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行線可以得到比例線段，再根據比例線段就可以證明所作的圖形是正方形了．