Question

已知：拋物線y=ax²+bx+4的對稱軸為x=-1，且與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中點A的坐標為（-3，0），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點為D，求△ACD的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A點坐標代入拋物線中，聯立對稱軸的解析式即可求出待定系數的值．
（2）由于△ADC的面積無法直接求出，因此可將其面積轉換為其他面積的和差來求．設直線AC與拋物線對稱軸的交點為E，首先要求出A、C、D、E四點的坐標，然后將△ACD分成△AED和△CDE兩部分來求解．
（3）本題分三種情況：
①PC∥AB，那么C點的縱坐標即為P點的縱坐標，因此可直接寫出P點坐標
②PB∥AC，那么此時應有△PHB∽△COA（設拋物線對稱軸與x軸的交點為H），可通過得出的關于PH、CO，BH、AO的比例關系式來求出PH的長，即可得出P點坐標．
③PA∥BC，同②．
解答：解：（1）由題意得
，
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+4．

（2）∵D是拋物線y=-x²-+4的頂點
∴點D的坐標為（-1，）
設AC與拋物線對稱軸的交點為E
∴DE=-=
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=××2+××1=4．

（3）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H
若PC∥AB，則點P（-1，4）；
若PB∥AC，△PHB∽△COA，
∴，即，
解得PH=．
∴P（-1，-）；
若PA∥BC，則△PHA∽△COB，
∴，
即，
解得PH=8
∴P（-1，-8）．
因此符合條件的P點有三個：（-1，4）；（-1，-）；（-1，-8）．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、梯形的判定等知識．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．