Question

劉衛同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見下圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛同學所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛同學發現：F、C兩點間的距離______． （填“不變”、“變大”或“變小”）
（2）劉衛同學經過進一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F、C的連線與AB平行？
問題②：當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？
請你分別完成上述二個問題的解答過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，觀察圖形，F、C兩點間的距離逐漸變小；
（2）①因為∠B=90°，∠A=30°，BC=6，所以AC=12，又因為∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，所以DF=4，連接FC，設FC∥AB，則可求證∠FCD=∠A=30°，故AD的長可求；
②設AD=x，則FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情況討論：FC為斜邊；AD為斜邊；BC為斜邊．綜合分析即可求得AD的長；
③假設∠FCD=15°，因為∠EFC=30°，作∠EFC的平分線，交AC于點P，則∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°，所以PD=4 ，PC=PF=2FD=8，故不存在．
解答：解：（1）變小；
故答案為：變小；

（2）問題①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4
連接FC，設FC∥AB

∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4 ，
∴AD=AC-DC=12-4 ，
∴AD=（12-4 ）cm時，FC∥AB；
問題②：設AD=x，在Rt△FDC中，FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，
（I）當FC為斜邊時，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=；
（II）當AD為斜邊時，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=；
∵DE=4，
∴AD=AC-DE=12-4=8，
∴x=＞8（不合題意舍去）
（III）當BC為斜邊時，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，
整理得出：x²-12x+62=0，
∴方程無解，
∴由（I）、（II）、（III）得，當x=cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形；
另解：BC不能為斜邊，
∵FC＞CD，
∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一條線段的長度大于6，
∴BC不能為斜邊，
∴由（I）、（II）、（III）得，當x=cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形．
點評：本題把相似三角形的判定和勾股定理結合求解．綜合性強，難度大．考查學生綜合運用數學知識的能力．注意解題的方法不惟一，可讓學生采用不同方法求解，培養學生的思維能力．