Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到點D，過點D作DE∥AB交于BC于E，過點E作EF∥AC交AB于F，連接FD，將△ABC分割成四個相似的小三角形，但其中至少有兩個小三角形的相似比不等于1？若能，求出點D位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：在AC上取點D，過點D作∠ADF=∠B，畫出草圖，找到相應的對應點，根據對應邊成比例求得AD的長即可．

解答：解：∵∠ADF=∠B，∠A=∠A．
∴△ADF∽△ABC，
∴AD：AF=AB：AC，
設AD=3x，
∴CD=2-3x，
∴AF=2x，
∴FB=3-2x，
∵∠A=∠CDE=∠DEF=∠EFB，
∠ADF=∠DEC=∠DFE=∠B，
∴△ADF∽△DEC∽△EFD∽△FBE，
由AD：AF=BF：EF，
3x：2x=（3-2x）：3x，
x=

6

13

，
∴AD=3x=

18

13

．

點評：考查相似三角形的畫法及性質的應用；判定出4個相似三角形的對應點是解決本題的突破點．