Question

如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發區A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30°，新開發區B到公路MN的距離BC=3千米．
（1）新開發區A到公路MN的距離為______；
（2）現要在MN上某點P處向新開發區A，B修兩條公路PA，PB，使點P到新開發區A，B的距離之和最短．此時PA+PB=______（千米）．

Answer 1

解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，
∴OB=6．
過點A作AE⊥MN于點E，AO=AB+OB=16，
∴AE=8．
即新開發區A到公路的距離為8千米；

（2）過D作DF⊥AE的延長線（點D是點B關于MN的對稱點），垂足為F．
則EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，
過B作BG⊥AE于G，
∴BG=DF，
∵BG=AB•cos30°=5，
∴，
連接PB，則PB=PD，
∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．
分析：（1）先求出OB的長，從而得出OA的長，再根據三角函數求得到公路的距離．
（2）根據切線的性質得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根據余弦概念求解．
點評：此題主要考查學生利用軸對稱的性質來綜合解三角形的能力．