Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，以A為一個頂點的等邊三角形ADE繞點A在∠BAC內旋轉，AD、AE所在的直線與BC邊分別交于點F、G．若點B關于直線AD的對稱點為B′，當△FGB′是以點G為直角頂點的直角三角形時，BF的長為 ．

Answer 1

【答案】4﹣4

【解析】

試題分析：作AH⊥BC于H，如圖1，先根據等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系求出BC=4，再把△ACG繞點A順時針旋轉120°得到△ABG′，連結FG′、AB′，如圖，則根據旋轉的性質得BG′=CG，AG=AG，∠ABG′=∠C=30°，∠1=∠BAG′，所以∠FBG′=60°，再證明△AFG≌△AFG′得到FG=FG′，接著利用對稱性質得FB=FB′，AB=AB′，∠2=∠3，易得∠1=∠4，AC=AB′，則可判斷△AB′G與△ACG關于AG對稱，得到GB′=GC，則GB′=BG′，然后證明△FB′G≌△FBG′得到∠FGB′=∠BG′F=90°，于是在Rt△BFG′中含30度的直角三角形三邊的關系得BG′=BF，FG′=BF，則BF+BF+BF=BC=4，然后解關于BF的方程即可．