Question

如圖，已知正方形ABCD，E為對角線BD延長線上一動點，F為BC延長線上一點，AE⊥EF，BD=nDE，CD的延長線交AE于點K．

（1）如圖1，若n=2時，求證：BC=CF．
（2）如圖2，在（1）的條件下，求證：=；
（3）若n=______

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，交BD于點O，先由正方形的性質得出AC⊥BD，OA=OB=OD，根據正切函數的定義求出tan∠AEO==，再證明A、B、F、E四點共圓，根據圓周角定理得到∠AFB=∠AEB，然后由tan∠AFB=tan∠AEB=即可得出BC=CF；
（2）先由KD∥AB，得出△EKD∽△EAB，根據相似三角形對應邊成比例得到==，再設KD=a，則AB=BC=CF=3a，CK=4a，在Rt△KCF中，運用勾股定理求出KF=5a，即可證明=；
（3）先由（1）知∠AFB=∠AEB=30°，再根據正切函數的定義得出tan∠AEB===，計算即可求出n=+1．
解答：（1）解：連接AC，交BD于點O．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OD．
∵BD=2DE，
∴OA=OD=DE，
∴tan∠AEO==，
∵∠AEF+∠ABC=90°+90°=180°，
∴A、B、F、E四點共圓，
∴∠AFB=∠AEB，
∴tan∠AFB=tan∠AEB=，
∴BF=2AB=2BC，
∴BC=CF；

（2）證明：∵KD∥AB，BD=2DE，
∴△EKD∽△EAB，
∴==．
設KD=a，則AB=3a，CD=BC=CF=3a，CK=4a．
在Rt△KCF中，∵∠KCF=90°，
∴KF==5a，
∴==；

（3）解：若n=+1時，能使∠AFB=30°．理由如下：
由（1）知∠AFB=∠AEB=30°．
∵OA=OD=BD，BD=nDE，
∴tan∠AEB===，
∴BD=DE，
∴n===+1．
故答案為+1．
點評：本題考查了正方形的性質，銳角三角函數的定義，四點共圓的條件，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，二次根式的計算，綜合性較強，對學生的能力要求較高．準確作出輔助線是解題的關鍵．