Question

已知：如圖，圓內接四邊形ABCD的兩邊AB、DC的延長線相交于點E，DF過圓心O交AB于點F，AB=BE，連接AC，且OD=3，AF=FB=

5

，求AC的長．

Answer 1

分析：由于DF⊥AB，根據垂徑定理可得出弧AD=弧BD，即∠DCA=∠DAB，因此△ADC和△EDA相似，所以本題可用形似三角形來求解．那么根據相似三角形可得出關于AC、AE、AD、DE的比例關系式，已知了圓的半徑和OF的長，因此可連接OA求出FO的長，進而可在直角△ADF中求出AD的長，同理可在直角△DFE中求出DE的長，而AE=4AF，由此可求出AC的長．

解答：解：連接OA，
∵DF過點O，AF=FB=

5

，
∴∠AFO=90°．
∴FO=

AO2-AF2

=

9-5

=2．
∴DF=DO+FO=5．
∴AD=

AF2+DF2

=

30

．
DE=

FE2+DF2

=

70

．
由垂徑定理知

AD

=

DB

，
∴∠DCA=∠DAB．
∵∠ADC是△ADC與△EDA的公共角，
∴△ADC∽△EDA．
∴

AC

AE

=

AD

DE

，

AC

4 5

=

30

70

．
∴AC=

4 105

7

．

點評：本題主要考查了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識點，根據垂徑定理得出角相等進而得出三角形相似是解題的關鍵．