Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角AC上，以OA長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若，AE=7，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明：連OE，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°，
而OA=OE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，∠4=∠2，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：連EF，
∵AF是直徑，
∴∠AEF=90°，
∵∠ACB=∠3，
∴tan∠3=tan∠ACB=，
在Rt△AEF中，
∵tan∠3=，
而AE=7，
∴EF=7×=，
即⊙O的直徑為AF==．
分析：（1）連OE，由四邊形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，得到∠OEC=90°，根據切線的判定定理即得到CE是⊙O的切線；
（2）連EF，由AF是直徑，根據直徑所對的圓周角為90度得到∠AEF=90°，而∠ACB=∠3，則tan∠3=tan∠ACB=，在Rt△AEF中，根據三角函數的定義即可得到AF的長即⊙O的直徑．
點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了矩形的性質和三角函數的定義以及圓周角定理的討論．