Question

某廠現有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件．已知生產一件A種產品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需甲種原料4kg，乙種原料10kg，可獲利潤1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有幾種方案請你設計出來；
（2）設生產A、B兩種產品總利潤是y元，其中一種產品的生產件數是x．試寫出y與x之間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中的哪種生產方案獲總利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設安排生產A種產品x件，則生產B種產品為（50-x）件，那么根據每種產品需要的原料數量可列不等式組進行解答，求出范圍，從而得出生產方案；
（2）在（1）的基礎上，根據每種產品的獲利情況，列解析式，根據（1）中x的取值范圍求出最值即可．

解答：解：（1）設安排生產A種產品x件，則生產B種產品為（50-x）件，根據題意，得

9x+4(50-x)≤360 3x+10(50-x)≤290

解得30≤x≤32．因為x是自然數，所以x只能取30，31，32．
所以按要求可設計出三種生產方案：
方案一：生產A種產品30件，生產B種產品20件；
方案二：生產A種產品31件，生產B種產品19件；
方案三：生產A種產品32件，生產B種產品18件；

（2）設生產A種產品x件，則生產B種產品（50-x）件，由題意，得
y=700x+1200（50-x）=-500x+60000
因為a＜0，由一次函數的性質知，y隨x的增大而減小．
因此，在30≤x≤32的范圍內，
因為x=30時在的范圍內，
所以當x=30時，y取最大值，且y最大值=45000．

點評：（1）利用一次函數求最值時，主要應用一次函數的性質；
（2）用一次函數解決實際問題是近年中考中的熱點問題．