Question

如圖，AB是半圓O的直徑，D是半圓上的一個動點，（D不與A、B 重合）以DA為一邊作∠DAC，使∠DAC=∠B．
（1）求證：AC是半圓O的切線；
（2）過點O作OE∥BD交AC于E，交AD于F，且EF=4，AD=6，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AC是半圓O的切線，只需證明∠CAB=90°即可；
（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根據相似三角形的對應邊成比例求得BD的長即可．
解答：解：（1）∵AB是半圓直徑，
∴∠BDA=90°．．
∴∠B+∠DAB=90°；
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，
∴AC是半圓O的切線；

（2）如圖，∵OE∥BD，∠D=90°
∴OE⊥AD，
∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，
AF=AD=3，
又∵∠B=∠DAE，
∴△AEF∽△BAD．
∴，即，
∴．
點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．