Question

（2012•莆田）如圖，一次函數y=k₁x+b的圖象過點A（0，3），且與反比例函數y=

k2

x

（x＞O）的圖象相交于B、C兩點．
（1）若B（1，2），求k₁•k₂的值；
（2）若AB=BC，則k₁•k₂的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別利用待定系數法求函數解析式求出一次函數解析式與反比例函數解析式，然后代入k₁•k₂進行計算即可得解；
（2）設出兩函數解析式，聯立方程組并整理成關于x的一元二次方程，根據AB=BC可知點C的橫坐標是點B的橫坐標的2倍，再利用根與系數的關系整理得到關于k₁、k₂的關系式，整理即可得解．

解答：解：（1）∵A（0，3），B（1，2）在一次函數y=k₁x+b的圖象上，
∴

b=3 k1+b=2

，
解得

k1=-1 b=3

；
∵B（1，2）在反比例函數y=

k2

x

圖象上，
∴

k2

1

=2，
解得k₂=2，
所以，k₁•k₂=（-1）×2=-2；

（2）k₁•k₂=-2，是定值．
理由如下：∵一次函數的圖象過點A（0，3），
∴設一次函數解析式為y=k₁x+3，反比例函數解析式為y=

k2

x

，
∴k₁x+3=

k2

x

，
整理得k₁x²+3x-k₂=0，
∴x₁+x₂=-

3

k1

，x₁•x₂=-

k2

k1

∵AB=BC，
∴點C的橫坐標是點B的橫坐標的2倍，不妨設x₂=2x₁，
∴x₁+x₂=3x₁=-

3

k1

，x₁•x₂=2x₁²=-

k2

k1

，
∴-

k2

2k1

=（-

3

3k1

）²，
整理得，k₁•k₂=-2，是定值．

點評：本題是對反比例函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求函數解析式，根與系數的關系，（2）中根據AB=BC，得到點B、C的坐標的關系從而轉化為一元二次方程的根與系數的關系是解題的關鍵．