Question

（2000•海淀區）已知：關于x的方程x²+3x+a=0①的兩個實數根的倒數和等于3，關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實數根且k為正整數，求代數式的值．

Answer 1

【答案】分析：先根據關于x的方程x²+3x+a=0①的兩個實數根的倒數和等于3，根據一元二次方程根與系數的關系可得兩根的和與兩根的積，再根據+==3，得到關于a的方程，得a的值，再由關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實數根，即判別式△≥0，k為正整數，求出k值，代入代數式求值．
解答：解法一：設方程①的兩個實數根為x₁，x₂
根據題意，得
∴=3，即=3．③
解得a=-1
經檢驗，a=-1是方程③的解，且使方程x²+3x-1=0有實數根．
將a=-1代入方程②，得（k-1）x²+3x+2=0
當k=1時，一元一次方程3x+2=0有實數根．
∴=0
當k≠1時，方程②為一元二次方程，
且△=9-8（k-1）≥0．
解得：k≤
∴k為正整數，且k≠1，
∴k=2
而k=2時，代數式無意義
綜上所述，代數式的值為0．
解法二：設方程①的兩個實數根為x₁，x₂
根據題意，得
∴==3且a≤．
解得a=-1，以下同解法一
點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．