Question

如圖（a），AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D．
（1）求證：∠DAC=∠BAC；
（2）若直徑AB=4，AD=3，試求∠BAC的度數；
（3）若把直線EF向上平移，如圖（b），EF交⊙O于G、C兩點，若題中的其他條件不變，這時還有與∠DAC相等的角嗎？如果有請直接指出是哪一個，如果沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連OC，構建平行線OC∥AD．然后由兩直線平行，內錯角相等推知∠OCA=∠DAC，再根據等腰三角形OAC兩個底角相等的性質知，∠BAC=∠OCA，所以根據等量代換易證明：∠DAC=∠BAC；
（2）連BC，構建相似三角形△ADC∽△ACB，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得AC=2

3

，最后在Rt△ABC中，利用余弦三角函數的定義求得∠BAC的度數；
（3）根據（2）的思路，可以直接寫出答案．

解答：證明：（1）連OC，
則OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA           （1分）
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF                （2分）
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD                        （3分）
∴∠OCA=∠DAC                          （4分）
∴∠DAC=∠BAC                          （5分）

（2）連BC，則∠ACB=∠ADC=90°        （6分）
由（1）知∠DAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB                      （7分）
∴AC²=AD•AB=3×4=12
∴AC=2

3

   （8分）
在Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

2 3

4

=

3

2

（9分）
∴∠BAC=30°                             （10分）

（3）∠BAG=∠DAC，理由如下：
證法（一）：連接BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°，
∵∠AGD+∠GAD=90°，
又∵∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD；
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，
∴∠BAG=∠DAC．                （12分）
證法（二）：連接BG
∵∠ACD是⊙O內接四邊形ACGB的外角，
∴∠ACD=∠ABG（圓內接四邊形的外角等于內對角），
∵AB為⊙O直徑，
∴∠AGB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠BAG=90°-∠ABG（直角三角形的兩個銳角互余），
∵∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠ABG
∴∠BAG=∠CAD（等量代換）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、切線的性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．