Question

已知：在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-x+3（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-2．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若點P（0，t）是y軸上的一個動點，請進行如下探究：
探究一：如圖1，設△PAD的面積為S，令W=t•S，當0＜t＜4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；
探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt△AOC相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．（參考資料：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）對稱軸是直線x=-

b

2a

）

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對稱軸求出a，就得到拋物線的表達式了；
（2））①下面探究問題一，由拋物線表達式找出A，B，C三點的坐標，作DM⊥y軸于M，再由面積關系：S_PAD=S_梯形OADM-S_AOP-S_DMP得到t的表達式，從而W用t表示出來，轉化為求最值問題．
②難度較大，運用分類討論思想，可以分三種情況：
（1）當∠P₁DA=90°時；（2）當∠P₂AD=90°時；（3）當AP₃D=90°時；思路搞清晰問題就好解決了．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-x+3（a≠0）的對稱軸為直線x=-2．
∴-

-1

2a

=-2，
∴a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x2-x+3．
∴D（-2，4）．

（2）探究一：當0＜t＜4時，W有最大值．
∵拋物線y=-

1

4

x2-x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．（4分）
當0＜t＜4時，作DM⊥y軸于M，
則DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S_三角形PAD=S_梯形OADM-S_三角形AOP-S_三角形DMP
=

1

2

(DM+OA)•OM-

1

2

OA•OP-

1

2

DM•MP
=

1

2

(2+6)×4-

1

2

×6×t-

1

2

×2×(4-t)
=12-2t（6分）
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）²+18
∴當t=3時，W有最大值，W_最大值=18．
探究二：
存在．分三種情況：
①當∠P₁DA=90°時，作DE⊥x軸于E，則OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，AD=

2

DE=4

2

，
∴∠P₁DE=∠P₁DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y軸，OA⊥y軸，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP₁=∠MDE-∠P₁DE=90°-45°=45度．
∴P₁M=DM=2，P1D=

2

DM=2

2

．
此時

OC

P1D

=

OA

AD

=

3 2

4

，
又因為∠AOC=∠P₁DA=90°，
∴Rt△ADP₁∽Rt△AOC，
∴OP₁=OM-P₁M=4-2=2，
∴P₁（0，2）．
∴當∠P₁DA=90°時，存在點P₁，使Rt△ADP₁∽Rt△AOC，
此時P₁點的坐標為（0，2）
②當∠P₂AD=90°時，則∠P₂AO=45°，
∴P2A=

OA

cos45°

=6

2

，
∴

P2A

OA

=

6 2

6

=

2

．
∵

AD

OC

=

4 2

3

，
∴

AD

OC

≠

P2A

OA

．
∴△P₂AD與△AOC不相似，此時點P₂不存在．（12分）（結論（1分），過程1分）
③當∠AP₃D=90°時，以AD為直徑作⊙O₁，則⊙O₁的半徑r=

AD

2

=2

2

，
圓心O₁到y軸的距離d=4．
∵d＞r，
∴⊙O₁與y軸相離．
不存在點P₃，使∠AP₃D=90度．
∴綜上所述，只存在一點P（0，2）使Rt△ADP與Rt△AOC相似．

點評：此題綜合性較強，考查函數基本性質，三角形相似的性質，輔助線的作法，探究性問題，還運用分類討論思想，難度大．