Question

填表解題：

方程	兩根x1，x2	x1+x2=	x1x2=
x2+2x+1=0
x2-3x-4=0
x2+4x-7=0

上表你能猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的兩根則x₁+x₂=______，x₁x₂₌______
利用你的猜想解下列問題：
（1）若x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩根求，x₁²+x₂²和（x₁+2）（x₂+2）的值．
（2）已知2+是方程x²-4x+c=0的一個根，求方程的另一個根及c的值．

Answer 1

解：表中從左至右為：x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=-3，x₁•x₂=4；
x₁=-2+，x₂=-2-，x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-7；
故答案為-，；
（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2²-2×（-3）=4+6=10；
（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4=-3+4+4=5；
（3）設方程的另一個根為x₂，
∵2++x₂=4，
∴x₂=2-；
由∵（2+）•x₂=c，
∴c=（2+）（2-）=4-3=1，
所以方程的另一個根為2-，c的值為1．
分析：利用因式分解法和求根公式解方程x²+2x+1=0，x²-3x-4=0，x²+4x-7=0，然后填表，根據表中的數據猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的兩根則x₁+x₂=-，x₁x₂₌；
（1）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，然后變形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4，再把x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3整體代入計算即可；
（2）設方程的另一個根為x₂，根據根與系數的關系得到2++x₂=4，（2+）•x₂=c，先求出x₂，然后計算c的值．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：如果方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．