Question

如圖，已知：以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作EF∥AC交BA的延長線于F．AF=5，EF=10，
（1）求證：EF是⊙O切線；
（2）求⊙O的半徑長；
（3）求sin∠CBE的值．

Answer 1

（本題滿分7分）
（1）證明：連接OE，
∵BE是∠B的平分線，
∴∠ABE=∠CBE．
∴OE⊥AC．
∵EF∥AC，
∴OE⊥EF．
∵E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵EF∥AC，
∴∠FEA=∠EAC．
∵∠EAC=∠EBC，
又∵∠ABE=∠CBE，
∴∠FEA=∠ABE．
又∵∠F=∠F，
∴△EFA∽△BFE．
∴．
∴EF²=AF•FB=15．
∴⊙O的半徑長7.5．

（3）解：∵△EFA∽△BFE，
∴AEBE．
設AE=k，BE=2K，
∵∠AEB=90°，
∴AE²+BE²=AB²∴k²+4k²=15²k=3．
∴AE=3．
∴sin∠ABE=．
∴sin∠CBE=sin∠ABE=．
分析：（1）連接OE，證明OE⊥EF．
（2）通過證明△EFA∽△BFE，得出EF²=AF•FB，求出半徑．
（3）求sin∠CBE，即求sin∠ABE，由△EFA∽△BFE，得出AE：BE=EF：BF=2，在△ABE中由勾股定理求出AE，從而得出結果．
點評：（1）連接半徑是證明切線常用的輔助線的作法．
（2）求三角函數值，經常是根據定義，放在直角三角形中去求．