Question

如圖，三角形ABC的兩個頂點B、C在圓上，頂點A在圓外，AB、AC分別交圓于E、D兩點，連結EC、BD．
(1)求證：ΔABD∽ΔACE；
(2)若ΔBEC與ΔBDC的面積相等，試判定三角形ABC的形狀．

Answer 1

(1) 證明見解析(2) 等腰三角形

（1）證明：∵弧ED所對的圓周角相等，∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE。
（2）解：△ABC為等腰三角形。理由如下：
∵S_△BEC=S_△BCD，S_△ACE=S_△ABC－S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC－S_△BCD，
∴S_△ACE=S_△ABD。
又由（1）知△ABD∽△ACE，∴對應邊之比等于1。
∴AB=AC，即△ABC為等腰三角形。
（1）利用圓周角定理得出∠EBD=∠ECD，再利用∠A=∠A，得出△ABD∽△ACE。
（2）根據△BEC與△BDC的面積相等，得出S_△ACE=S_△ABD，進而求出AB=AC，得出答案。