Question

如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D恰好落在對角線AC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN，
（1）求證：△ADN≌△CBM；
（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由；
（3）點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．
（2）連接NE、MF，根據（1）的結論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE為斜邊，NF為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．
（3）設AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，首先求出AC=5，根據翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCF•CF，在Rt△NFE中，NO²=NF²+OF²，求出NO的長，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2．
解答：（1）證明：由折疊的性質得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵，
∴△ADN≌△CBM，

（2）解：連接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四邊形MFNE是平行四邊形，
∵MN與EF不垂直，
∴四邊形MFNE不是菱形；

（3）解：設AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA===，
解得NF=，
∵OE=OF=EF=，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=，
∴MN=2ON=，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四邊形MQPN是平行四邊形，
∴MN=PQ=，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG²=PQ²-QG²，即PG==1，
∴PC=2PG=2．
點評：本題主要考查翻折變換的知識點，還涉及平行四邊形、菱形的證明，解答（3）問的關鍵是求出EF的長，此題難度較大，要熟練掌握此類試題的解答，此類題經常出現中考試卷中，請同學們關注．