Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4；（2）PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似，此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）將A（3，0），C（0，4）代入y=ax2-2ax+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先根據A、C的坐標，用待定系數法求出直線AC的解析式，進而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點C（0，4），

∴，

解得．

∴直線AC的解析式為y=-x+4．

∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，

∴M點的坐標為（m，-m+4），

∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=-x2+x+4上，

∴點P的坐標為（m，-m2+m+4），

∴PM=PE-ME=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+4m，

即PM=-m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的條件下，連結PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：由題意，可得AE=3-m，EM=-m+4，CF=m，若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，情況：

①P點在CD上方，則PF=-m2+m+4-4=-m2+m．

若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，

即（-m2+m）：（3-m）=m：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=；

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，

即m：（3-m）=（-m2+m）：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1．