Question

如圖，以正△ABC的AB邊為直徑畫⊙O，分別交AC、BC于點D、E，已知AB=6cm，求弧DE的長及陰影部分的面積．

Answer 1

分析：連接OD，OE，AE，根據等邊三角形的性質先求的圓的半徑和弧ED對應的圓心角∠DOE=60°，再分別求出弧DE的長，根據S_陰影=S_△OBE+S_△AOD+S_扇形ODE求出陰影部分的面積．

解答：解：連接OD，OE，AE
∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，
∴AE⊥BC，BE=OB，∠B=60°，
∴OE平行且相等AD，OA=OE，
∴四邊形OAED是菱形，
∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°，
∵AB=6cm
∴OD=OE=BE=3cm，
∴AE=

62-32

=3

3

（cm）
∴△OBE中底邊BE上的高以及△AOD中底邊OD上的高都為：

3 3

2

cm，
∴弧DE的長=

60

180

π•3=π，
S_陰影=S_△OBE+S_△AOD+S_扇形ODE=

1

2

×3×

3  3

2

+

1

2

×3×

3  3

2

+

60π•9

360

=

9  3

2

+

3

2

π．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和扇形的面積計算，是利用面積之間的和差關系求陰影部分面積的典型題例．此類題目通過分析可知陰影部分的面積正好是2個等邊三角形和一個圓心角是60°的扇形的面積和，求出小等邊三角形的邊長和扇形的圓心角是解題的關鍵．