Question

聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心。舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心。應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數。探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長。

Answer 1

解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，
∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，
與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=，
①若PB=PC，設PA=x，則，∴，即PA=，
②若PA=PC，則PA=2，③若PA=PB，
由圖知，在Rt△PAB中，不可能。故PA=2或。