Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB于點O，點D是的中點，連接CD、OD．下列四個結論：①ACOD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④∠ADC=∠BOD．其中正確結論的序號是（ ）

A.①④B.①②④C.②③D.①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖，利用圓周角定理得∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠2=∠3，于是可對①進行判斷；利用AC∥OD可判定△ACE∽△DOE，則，再判定△AOC為等腰直角三角形得到AC=OA=OD，所以CE=OE，于是可對②進行判斷；利用圓周角定理得到∠COD=2∠1，則根據相似三角形的判定方法可對③進行判斷；利用圓周角定理可計算出∠ADC=45°，而∠BOD=45°，則可對④進行判斷．

解：如圖，

∵點D是的中點，

即，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴AC∥OD，所以①正確；

∴△ACE∽△DOE，

∴，

∵OC⊥OA，

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴AC=OA=OD，

∴

∴CE=OE，所以②錯誤；

∵點D是的中點，

∴∠BOD=∠COD

∵∠BOD=2∠1

∴∠COD=2∠1，

而∠ODE=∠ADO，

∴△ODE與△ADE不相似，所以③錯誤；

∵∠ADC=∠AOC=45°，∠BOD=∠BOC=45°，

∴∠ADC=∠BOD，所以④正確．

∴正確的結論是①④，

故選：A．