Question

（2013•白云區一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連結AC并延長至D，使CD=AC，連結BD，作CE⊥BD，垂足為E．
（1）線段AB與DB的大小關系為

AB=DB

，請證明你的結論；
（2）判斷CE與⊙O的位置關系，并證明；
（3）當△CED與四邊形ACEB的面積之比是1：7時，試判斷△ABD的形狀，并證明．

Answer 1

分析：（1）首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由AC=CD，利用三線合一的知識，即可判定AB=DB；
（2）首先連接OC，由點O為AB的中點，點C為AD的中點，根據三角形中位線的性質，可證得OC∥BD，又由CE⊥BD，即可證得CE⊥OC，即得CE與⊙O的切線；
（3）易證得△CED∽△BCD，然后由相似三角形的對應邊成比例證得：CD=

1

2

BD，可求得∠CBD=30°，即可得∠D=60°，則可證得△ABD是等邊三角形．

解答：解：（1）線段AB=DB．
證明如下：
連結BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AD．
又∵AC=CD，
∴BC垂直平分線段AD，
∴AB=DB；

（2）CE是⊙O的切線．
證明如下：
連結OC，
∵點O為AB的中點，點C為AD的中點，
∴OC為△ABD的中位線，
∴OC∥BD．
又∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線；

（3）△ABD為等邊三角形．
證明如下：
由

S四邊形ACEB

S△CED

=

7

1

，
得

S四邊形ACEB+S△CED

S△CED

=

7+1

1

，
∴

S△ABD

S△CED

=

8

1

，
即

S△CED

S△ABD

=

1

8

，
∴

S△CED

2S△BCD

=

1

8

，

S△CED

S△BCD

=

1

4

，
∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，
∴△CED∽△BCD，
∴(

CD

BD

)2=

S△CED

S△BCD

，即(

CD

BD

)2=

1

4

，
∴

CD

BD

=

1

2

，
在Rt△BCD中，
∵CD=

1

2

BD，
∴∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
又∵AB=DB，
∴△ABD為等邊三角形．

點評：此題考查了切線的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．