Question

如圖，在平面直角坐標系中直線AC交x軸于點A，交y軸于點C，過點C作直線CB⊥AC交x軸于點B，且AB=25，AO：CO=3：4，點P在線段OC上，且PO、PC的長是關于x的方程x²-12x+32=0的兩根（PO＜PC）
（1）求AC、BC的長；
（2）若M為線段BC的中點，求直線PM的解析式；
（3）在平面內是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在請直接寫出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-12x+32=0，可得到PO、PC的長，即得到OC，再由AO：CO=3：4，得到OA的長，根據勾股定理可計算出AC和BC；
（2）取OB的中點N，連接MN，根據中位線的性質可確定M的坐標，然后根據待定系數法設直線PM為：y=kx+b，把P和M的坐標代入即可確定直線PM的解析式；
（3）分別以A、C、P為頂點的三角形的三條邊為對角線作出三個平行四邊形，根據四邊形的性質即可得到Q的坐標．

解答：解：（1）解方程x²-12x+32=0，得x₁=4，x₂=8，
∵PO＜PC，
∴PC=8，PO=4，OC=PC+PO=12，
∵AO：CO=3：4，
∴AO=

3×12

4

=9，
在Rt△ABC中，AC=

OC2OA2

=15，
∵CB⊥AC，
∴在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=20；

（2）取OB的中點N，連接MN，
∵M是BC的中點，OB=16，
∴MN=

1

2

OC，MN∥OC，
∴M（8，6），P（0，4），
設直線PM為：y=kx+b，則

8k+b=6 b=4

，
解得：k=

1

4

，b=4
∴直線PM：y=

1

4

x+4；

（3）存在．Q點的坐標分別為：
（-9，-8），（-9，8），（9，16）．

點評：本題考查了利用待定系數法求直線的解析式：設直線P為：y=kx+b，然后把兩個點的坐標代入確定k，b．也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四邊形的性質．