Question

3、已知α、β是關于x的方程x²+px+q=0的兩個不相等的實數根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求證：p=0，q＜0．

Answer 1

分析：根據根與系數是關系求得α+β=-p，根據根的判別式求得△=p²-4q＞0；然后利用完全平方公式將α³-α²β-αβ²+β³=0變形得α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0，所以α+β=-p=0，所以-4p＞0，即p＜0．

解答：證明：∵α、β是關于x的方程x²+px+q=0的兩個不相等的實數根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α³-α²β-αβ²+β³=0，
∴α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0；
∵α、β是關于x的方程x²+px+q=0的兩個不相等的實數根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p²-4q＞0；
∴p=0，-4p＞0，
∴p＜0．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．