Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：∠PCB=∠A； 
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，求證：AM²=MN•MC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結論；
（2）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；等量代換可得MN•MC=BM²=AM²．
解答：證明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A；

（2）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線；（3分）

（3）連接MA，MB，
∵點M是弧AB的中點，
∴弧AM=弧MB
∴∠BCM=∠ABM（同圓中，相等的弧所對的圓周角相等），
∴△MBN∽△MCB．
∴BM²=MN•MC．
∴AM²=MN•MC．
點評：此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質的應用．是一道綜合性的題目，難度中等偏上．